МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ

        весьма общий способ математических доказательств и определений. Индуктивные доказательства основаны на так называемом принципе М. и., являющемся одной из основных математических аксиом. Пусть, например, требуется доказать для любого натурального (целого положительного) числа n формулу:
         1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2 (1)
        При n = 1 эта формула даёт 1 = 12. Чтобы доказать правильность формулы при любом n, допускают, что её уже удалось доказать для некоторого определённого числа N, то есть предполагают, что
         1 + 3 + 5 + ... + (2N - 1) = N2. (2)
        Далее, опираясь на сделанное допущение, пытаются доказать правильность формулы (1) для числа на единицу большего, то есть для n = N + 1. В данном случае достаточно присоединить к сумме в левой части равенства (2) ещё одно слагаемое: (2N + 1); тогда и правая часть равенства должна увеличиться на (2N +1) и, следовательно,
         1 + 3 + 5 + ... + (2N — 1) + (2N + 1) = N2 + (2N + 1) = (N + 1)2.
        Но тот же результат получится, если в формуле (1) заменить n на N + 1.
         Итак, из справедливости формулы (1) при n = N вытекает (каково бы ни было N) её правильность и при n = N + 1. Но при n = 1 формула (1) верна, следовательно, она верна также и при n = 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1, 5 = 4 + 1 и так далее. Так как последовательным прибавлением единицы можно получить (начиная с единицы) любое натуральное число, то формула (1) действительно верна при любом натуральном числе n. Как ни очевидна заключительная часть приведённого рассуждения, она опирается на некоторую аксиому, не сводимую только к общим законам логики, но выражающую одно из основных свойств натуральных чисел.Общая формулировка этой аксиомы такова.
         Принцип М. и. Пусть: 1) число единица обладает свойством А; 2) из того, что какое-либо натуральное число n обладает свойством А, вытекает, что и число n + 1 обладает свойством А. При таких условиях любое натуральное число обладает свойством А.
         В разобранном выше примере свойство А числа n выражается так: «для числа n справедливо равенство (1)». Если принцип М. и. принят в качестве аксиомы, то каждое отдельное доказательство, опирающееся на этот принцип, следует рассматривать как чисто дедуктивное. При доказательстве [например, формулы (1)], основанном на этом принципе, не происходит заключения от частного к общему, так как одна из посылок (сам принцип М. и.) по меньшей мере столь же обща, как и заключение.
         Принцип М. и., сформулированный выше, служит, как было показано, для доказательства математических теорем. Помимо этого, в математике употребляются ещё так называемые индуктивные определения. Таково, например, следующее определение членов un геометрической прогрессии с первым членом а и знаменателем q:
         1) u1 = a,
         2) un+1 = unq.
        Условия 1) и 2) однозначно определяют члены прогрессии un для всех натуральных чисел n. Доказательство того, что это действительно так, может быть основано на принципе М. и.; в данном случае можно, однако, непосредственно получить выражение un через n:
         un = aqn-1.
         Принцип М. и. можно заменить равносильными ему предложениями, например таким: если подмножество М множества всех натуральных чисел N содержит 1 и вместе с любым своим элементом m содержит и m + 1, то М = N.


Смотреть больше слов в «Большой Советской энциклопедии»

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КАРТОГРАФИЯ →← МАТЕМАТИКИ ИНСТИТУТ

Смотреть что такое МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ в других словарях:

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ полная математическая индукция (наз. в математике часто просто полной индукцией; в этом случае это понятие следует отличать ... смотреть

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ

метод доказательства математич. утверждений, основанный на принципе математической индукции: утверждение (х), зависящее от натурального параметра х, ... смотреть

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ, весьма общий способ математич. доказательств и определений. Индуктивные доказательства основаны на т. н. принципе М. и., яв... смотреть

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ, метод, доказывающий, что математическое утверждение верно для любого положительного целого числа п, если выполняются два услов... смотреть

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ

общий спо соб матем. доказательства или определения нек-рого свойства А для всех натуральных п, основанный на заключении от п к n +1, М. и. состоит из ... смотреть

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ, общий способ математического доказательства или определения некоторого свойства А для всех натуральных n, основанный на заключении от n к n+1. Математическая индукция состоит из двух этапов: а) установление А для некоторого начального n0; б) обоснование перехода от n к n+1.<br><br><br>... смотреть

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ индукция - общий способ математического доказательства или определения некоторого свойства А для всех натуральных n, основанный на заключении от n к n+1. Математическая индукция состоит из двух этапов: а) установление А для некоторого начального n0; б) обоснование перехода от n к n+1.<br>... смотреть

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ индукция, способ доказательства или определения некоторого свойства A для всех n случаев, основанный на переходе заключения о наличии свойства A от n к n+1. Математическая индукция состоит из двух этапов: установление A для некоторого начального n и обоснование перехода от n к n+1. <br>... смотреть

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ , общий способ математического доказательства или определения некоторого свойства А для всех натуральных n, основанный на заключении от n к n+1. Математическая индукция состоит из двух этапов: а) установление А для некоторого начального n0; б) обоснование перехода от n к n+1.... смотреть

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ, общий способ математического доказательства или определения некоторого свойства А для всех натуральных n, основанный на заключении от n к n+1. Математическая индукция состоит из двух этапов: а) установление А для некоторого начального n0; б) обоснование перехода от n к n+1.... смотреть

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ

, способ доказательства или определения некоторого свойства A для всех n случаев, основанный на переходе заключения о наличии свойства A от n к n+1. Математическая индукция состоит из двух этапов: установление A для некоторого начального n и обоснование перехода от n к n+1.... смотреть

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ

- общий способ математического доказательства илиопределения некоторого свойства А для всех натуральных n, основанный назаключении от n к n+1. Математическая индукция состоит из двух этапов: а)установление А для некоторого начального n0; б) обоснование перехода от nк n+1.... смотреть

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ

math(ematical) induction, induction* * *mathematical induction

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ

см. Математическая индукция.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ

математикалық индукция

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ

математикалық индукция

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ

матэматычная індукцыя

T: 270 M: 15 D: 3