НОРМАЛЬНАЯ (ЖОРДАНОВА) ФОРМА МАТРИЦ

Нормальная (жорданова) форма матриц. С каждой квадратной матрицей

связан целый класс матриц, подобных матрице А. В этом классе всегда существует матрица, имеющая специальную нормальную (или каноническую) жорданову форму [термин «Н. (ж.) ф. м.» связан с именем К. Жордана]. На схеме показана жорданова форма некоторой матрицы 8-го порядка:

(1)

Вдоль главной диагонали расположены специальные квадратные клетки (на схеме они обведены пунктиром). Все элементы матрицы, расположенные вне этих клеток, равны нулю. В каждой диагональной клетке вдоль главной диагонали повторяется одно и то же (комплексное) число (в первой клетке l1, во второй l2 и т.д.); параллельный ряд над главной диагональю состоит из единиц. Все же остальные элементы в диагональных клетках равны нулю. На приведённой схеме имеются три диагональные клетки, из которых первая имеет порядок 4, вторая и третья ‒ порядок 2. В общем же случае число клеток и порядки их могут быть любыми. Среди чисел l1, l2,... возможны и равные. Исходная матрица А в указанном примере имеет следующие элементарные делители: (l ‒ l1)4, (l ‒ l2)2, (l ‒ l3)2. По элементарным делителям матрицы однозначно определяется её жорданова форма.

Если матрица А имеет жорданову форму I, то существует неособенная матрица Т такая, что А = TIT-1. Замену матрицы А подобной ей матрицей I называют приведением матрицы А к нормальной жордановой форме.

Представление о применениях жордановой формы матрицы можно получить на примере системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:



................


в матричной записи:


Введём новые неизвестные функции y1, у2,...yn при помощи неособенной матрицы

[tik - числа (i, k = 1, 2, ., n)]:

,

,

...............

;

в матричной записи:

х = Ту.

Подставляя это выражение для x в (2), получим:


где матрица I связана с матрицей А равенством:

А=TIT-1.

Обычно матрицу Т подбирают так, чтобы матрица А имела жорданову форму. В этом случае система уравнений (3) значительно проще системы (2). Так, например, при n = 8, если матрица

имеет жорданову форму (1), то система (3) будет иметь вид:

, ,

, ,

, ,

, .

Интегрирование такой системы сводится к многократному интегрированию одного дифференциального уравнения.


Лит. см. при ст. Матрица.


Смотреть больше слов в «Большой Советской энциклопедии»

НОРМАЛЬНАЯ ВЫСОТА →← НОРМАЛЬ

T: 200 M: 12 D: 3