ПРОИЗВОДНАЯ

основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции; П. есть функция, определяемая для каждого х как предел отношения: ПРОИЗВОДНАЯ фото №1

Всякая дифференцируемая функция непрерывна; обратное утверждение неверно: существуют даже непрерывные функции, не имеющие П. ни в одной точке (см. Непрерывная функция). Для функций действительного переменного сама П. может быть недифференцируемой и даже разрывной. В комплексной же области существование первой П. влечёт существование П.всех порядков. О П. функций многих переменных (частная П.), а также о правилах нахождения П. и различных приложениях см. в ст. Дифференциальное исчисление.

В теории функций действительного переменного изучаются, в частности, функциональные свойства П. и различные обобщения понятия «П.». Так, например, всюду существующая П. относится к функциям первого класса по Бэра классификации (См. Бэра классификация); П. (даже если она разрывна) принимает все промежуточные значения между наименьшим и наибольшим. Из различных обобщений понятия «П.» наиболее существенны следующие.

Производные числа. Верхним правым производным числом Δ_d называют верхний предел отношения ПРОИЗВОДНАЯ фото №2

, где x₁ > х. Аналогично определяют нижнее правое λ_d, верхнее Δ_s и нижнее λ_s левые производные числа. Если Δ_d= λ_d(Δ = λ_s), то f (x) имеет в точке х одностороннюю правую (левую) П. Обыкновенная П. существует, если все четыре производных числа конечны и совпадают. Производные числа были введены итал. математиком У. Дини (1878). Как показал Н. Н. Лузин (1915), если все четыре производных числа конечны на некотором множестве, то функция имеет обычную П. всюду на этом множестве, кроме точек множества меры нуль (см. Мера множества).

Асимптотическая (или аппроксимативная) производная была введена А. Я. Хинчиным (1916). Асимптотической П. называется предел отношения ПРОИЗВОДНАЯ фото №3

x₁ → x пробегая точки множества, для которого х является плотности точкой (См. Плотности точка).

Смотреть больше слов в «Большой Советской энциклопедии»

ПРОИЗВОДНОЕ МНОЖЕСТВО →← ПРОИЗВОДИТЕЛЬНЫЙ ТРУД

ПРОИЗВОДНАЯ

Смотреть что такое ПРОИЗВОДНАЯ в других словарях:

Рекомендуем посмотреть: